•
Почему Арбуз? •
Служебная •
UN
•
 |
 |
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
|
 |
- В последующие дни я
экспериментировал с Эта статья служит продолжением, но, возможно, не завершением темы вычисления числа пи, начатой в №8 2001 статьей "Моделируя жизнь" и продолженной в №3 2002 статей "Пиратская тропинка к пи", причем в обеих статьях речь шла об экзотических проявлениях этого удивительного числа. В первой статье, напомним, оно вычислялось с помощью теории вероятности бросанием так называемой "Иглы Бюффона", а во второй с помощью соотношений взаимно простых чисел, причем обе статьи сопровождались популярной экскурсией в теорию вероятностей и теорию простых чисел. Те, кто не успел достать бумажные номера журналов, могут найти эти статьи на http://www.hardnsoft.ru/magazine.php?issue=86&article=18 и на www.arbuz.narod.ru/z_pi.html . А еще путешествующие по Сети любители математики могут встретиться с многочисленными энтузиастами числа Пи, выставляющими на своих страничках всякие чудеса, с картинками и стихами, посвященными таинственному числу и даже клубами любителей числа Пи. Предлагаем вашему вниманию некоторые исторические и программные этюды, связанные с числом Пи, а помня шутку о том, что каждая добавленная в книгу формула вдвое сокращает количество ее покупателей, будем перемежать серьезные рассуждения с прогулкой по залам виртуального клуба любителей числа Пи. Немного истории. В Древнем Египте площадь круга диаметром d определяли как 4*(d - d/9)2. Из приведенного выражения можно заключить, что в то время число "пи" считали равным дроби (16/9)2 , или 256/81, то есть пи=3.160... В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавшей в Индии и возникшей в VI веке до н.э.) имеется указание, из которого следует что число пи в то время принимали равным 10^0.5, или 3.162... Древние греки Евдокс, Гиппократ и другие сводили измерение окружности к построению соответствующего отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата. Однако, здесь их ожидали необъяснимые (с их точки зрения) трудности. Действительно, поскольку все построения выполнялись с помощью циркуля и линейки, все их попытки сводились к выражению отношения длины окружности к диаметру (т.е. числа "пи") рациональным числом, и поэтому заранее были обречены на провал. Постепенно древние ученые поняли бесплодность подобных попыток и стали искать другой к подход к столь важной практической и теоретической проблеме. Так Архимед, в III веке до нашей эры предложил в своей работе "Измерение круга" три положения: · Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и ее радиусу · Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14. · Отношение любой окружности к ее диаметру меньше чем 3 1/7 и больше 3 10/71 Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников с 6, 12, 24, 48 и 96 сторонами. Таким образом, с одной стороны Архимед определил, что пи=3.1419..., а с другой, он фактически создал понятие приближенного вычисления, и определил алгоритм приближенного вычисления числа пи. Впоследствии, практически все ученые древнего мира использовали аналогичный алгоритм в своих уточнениях числа "пи". Так в Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу "пи" - 355/113. В V веке нашей эры китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение пи=3.1416927... В первой половине XV в. н. э. в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил число "пи" с 16 десятичными знаками. Он сделал 27 удвоений числа сторон многоугольников и дошел до многоугольника, имеющего 3*228 углов. Формула удвоения, связывающая длины сторон an и a2n правильных n- и 2n-угольников, вписанных в окружность (диаметром=1) имеет вид:  Или, в символах бейсика a2n= 0.5*sqr(2-2*sqr(1-an^2)), n>=3 Попробуем и мы, с помощью Visual Basic'a посчитать этим методом значение пи. Каждое удвоение сторон дает многоугольник, более близкий к окружности, а начинают обычно с шестиугольника, так как сторона его равна радиусу описанной окружности. Итак... Dim a1n As Double, a2n As Double, pi As
Double, i As Integer, n As Double, m As Integer 3*2^ 1 =
6
3,10582854123025 -3,57641123595402E-02 Первый столбик показывает число сторон вписанного многоугольника, второй - отношение его периметра к диаметру окружности, а третий - отклонение этого отношения от известного значения пи. Уже на 12 шагу мы получаем 12288-угольник, который дает значение пи с точностью до девятого знака после запятой. Дальнейшая работа программы уточнения не дает, это связано с возведением в квадрат и извлечением корня из числа, объявленного как double. Для применения метода удвоения придется искать какие-нибудь ухищрения, атака "в лоб" дала результаты, может, и неплохие, но по сравнению с результатами Ал-Каши просто смехотворные. Кто надумает, как обойти ограничения на длину числа в Бейсике, пишите. А мы переходим в следующий зал нашего виртуального клуба. Христиан Крюзер, давний любитель числа пи не только взял это число с собой в полет, но и заставил его (наверняка не спросив) совершить прыжок вместе с группой парашютистов (http://www.astro.univie.ac.at/~wasi/PI/proclaiming_pi/flying_high.html )
Он же установил памятный знак пи на одной из высочайших вершин мира - пике Ленина. (http://www.astro.univie.ac.at/~wasi/PI/proclaiming_pi/on_pik_lenin.html )
Другой энтузиаст Вернер Лехманн выложил на земле мозаику, цвета плиток в которой соответствуют цифрам числа пи, и гордо на ней восседает. (http://www.jvshly.de/piworld/pimosa.htm ). Вот уж кто прочувствовал цифры пи буквально своими руками.
Вот это увлеченность, даже завидно стало. Представляете - жизнь, наполненная пи! Это вам не пустяки. Да и нас, кстати, ждут еще дела. Вспомним известный со школы способ определения пи вписыванием в окружность многоугольника или описыванием многоугольника вокруг окружности. Если рассматривать отношение периметра многоугольника к диаметру окружности, то при увеличении числа сторон многоугольника оно должно стремиться к пи. Причем, для вписанного многоугольника "снизу", увеличиваясь, а для описанного "сверху", уменьшаясь. Особенно быстро должно приближаться к пи среднее арифметическое этих двух встречных приближений. Знатоки и даже троечники согласятся, что половина стороны многоугольника, описанного вокруг окружности с радиусом 1 равна a=1/Sin(Fi), а половинка стороны вписанного соответственно b=1/tan(Fi), где Fi - половинка центрального угла, опирающегося на сторону многоугольника. Fi=360/n/2 в градусах, или Fi=Пи/n в радианах. С точки зрения методики "чистого" отыскания Пи здесь не все гладко, ведь при переводе в радианы мы используем готовое известное значение пи, но у нас не стоит академическая задача методологической чистоты рассуждений, просто мы посмотрим, как быстро "уточняется" значение пи при увеличении числа сторон многоугольников. И вот наше воплощение и результат его. Dim fi As Double, pi As Double, pi1 As
Double, i As Integer, n As Double, m As Integer В первом столбике число сторон многоугольника, во втором отношение периметра описанного многоугольника к диаметру, в третьем то же для вписанного, в четвертом их среднее значение, а в пятом отклонение от известных эталонных цифр. Мы все это проделали чтобы убедиться в том, что пи уточняется довольно медленно - для двадцатиугольника разница среднего значения с эталоном в третьем знаке после десятичной точки и уменьшается она (разница) не слишком быстро. Поэтому предпримем отчаянный ход - будем резче, десятикратно на каждом шаге цикла, увеличивать количество сторон многоугольников. Private Sub Комманда1_Click() 10
3,09016994374947
3,24919696232906
3,16968345303927 2,80907994494752E-02 Тут уж желаемый результат на лицо, посмотрите, как уточнялось наше пи от миллионного знака для тысячеугольника до десятимиллиардного для статысячеугольника и за пределами представления чисел двойной точности, то есть до пятнадцатого знака после десятичной точки для "стомиллионоугольника". Кстати, обратите внимание на первые значащие цифры разности найденного значения пи с эталонным - они почти везде равны 2.5, почему бы это? Поразмышляйте, пока будем отдыхать в следующем зале нашего клуба. Почитатель числа пи Экхард Коен нанес на стекло размером 60х60 см узор, основанный на 250 000 знаках любимого числа и соорудил из него журнальный столик. Теперь счастливый автор, как сказано на http://www.jvshly.de/piworld/pi_table.htm, может наслаждаться чашкой чая, рассуждая о фантастической красоте окружающего мира.
А еще на соседней страничке того же любителя числа пи http://www.jvshly.de/piworld/_pisign.htm вы можете получить персональный значок (или подпись - pisign) выделенный из цифр числа пи на основании ваших персональных данных - даты и места рождения. Например, такие.
Для получения такого персонального пи-значка всем желающим авторы странички предлагают писать письма с личными данными на адрес mailto:hly@jvshly.de, вам вышлют номер счета для оплаты суммы в размере pi3/2 = 15,00 долларов, после получения сгенерируют ваш значок и вышлют его в виде картинки или зип-архива. На этой же страничке вы найдете целую галерею изображений, полученных из цифр числа пи, например, такое.
Этот шедевр достоин украсить любую коллекцию абстрактной живописи, не правда ли? А еще любители числа пи выложили на http://home.t-online.de/home/HAEL.YGGS/picur.htm необычайные фотографии, подтверждающие таинственное свойство этого числа появляться в самых неожиданных местах, причем не только в виде самого числа, но, самое невероятное, и в виде символа, обозначающего это число. Например, в виде снежных языков на склонах гор, в перекрещивающихся ветках деревьев, в прожилках обычных камней, в железяке для швартовки лодок и даже в струйках воды, стекающих с рук в умывальник!
А еще на той же страничке приверженцы пи обнаружили в Лейпциге на улице Rietschelstrasse таинственное яйцо с нанесенными на нем 2345 цифрами числа пи. И вместо того, чтобы искать птицу или крокодила, снесших это чудо, они рассуждают о том, что космические сферы не обязательно сферические, что им больше подходит форма яйца, вот такие чудаки. Они же, к дню рождения Хуберта Риттера (Hubert Ritter, 1886 - 1967), архитектора из Лейпцига, применявшего в строительстве элементы окружностей, создали мозаику из 1886 элементов, ячейки которой раскрашены, вы уже догадались, по цифрам числа пи.
Приглашаю всех повнимательнее отнестись к окружающему нас на каждом шагу проявлению таинственного числа, фотографируйте и присылайте в Арбузный клуб числа пи www.arbuz.narod.ru/z_piclub.htm природные его появления или самодельные конструкции. Отдохнули? Движемся дальше. После разработки методов дифференциального и интегрального исчисления было найдено много формул, которые содержат число "пи". Некоторые из этих формул позволяют вычислять "пи" приемами, отличными от метода Архимеда и более рациональными. Так к числу "пи" можно прийти, отыскивая пределы некоторых рядов. Так Г.Лейбниц (1646-1716) получил в 1674г. ряд ,который дал возможность вычислить "пи" более коротким путем, нежели Архимед. Пи=4*(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11…) Рассмотрев внимательно формулу найдем выражение для общего члена ряда в скобках an=((-1)^n)/(2*n+1), что позволит написать несложную программу и проверить действенность формулы: Dim pi As Double, i As Integer 0
4
1
0,85840734641021 Прервем программу на минуточку. Здесь выводятся: в первом столбике номер счетчика цикла, он же номер дроби, участвующей в расчете, во втором искомое наше пи, в третьем значение прибавляемой на этом шаге дроби, а в четвертом, как и ранее, разница найденного значения пи и эталонного. Рассмотрение процесса говорит о том, что ряд приближается к пи до обидного медленно, так как текущее значение дроби быстро уменьшается и влияет на сумму рядя все слабее и слабее. Десять шагов цикла не дали даже первую десятичную цифру. Пропустим несколько строк. 46
3,16286684275088
0,010752688172043
2,12741891610944E-02 Пятьдесят дробей так и не дали вторую цифру после точки... еще пропустим... 95
3,13117626945498
-5,23560209424084E-03 -1,04163841348082E-02 А вот и неутешительный результат ста шагов программы – до второй цифры так и не добрались. Остается утешиться мыслями о том, что отрицательный результат тоже результат, что интерес у нас чисто обзорно-исторический, что хотя формула ряда и сам ряд найдены правильно, но для быстрого нахождения пи они непригодны. Снова отдых в следующем салоне клуба. Если до этого мы рассматривали картинки, мозаики и фотографии, то теперь обратимся к жанру эпистолярному. Есть красивая старинная и вечноактуальная задача: подумаем, как легче запомнить значение Пи? Это можно сделать, например, с помощью старинного двустишья. Оно написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это двустишие: Кто и шутя, и скоро пожелаетъ А почему, собственно, мы должны пользоваться дореволюционными стихами? Ведь это же не сложно, написать такое стихотворение! Причем, такое стихотворение напрямую связано с другим проявлением математической словесности – цифровыми стихами, подробнее о них смотрите альманах «Полторы трубы» на www.arbuz.narod.ru/z_truba.htm Попробуйте сочинить, увлекательное занятие, и присылайте, размещу в клубе, прославитесь. А вот (http://www.go2net.com/useless/useless/pi.html )варианты на английском: "How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!", тоже количество букв равно цифрам пи, но перевод с педагогической точки зрения весьма сомнителен. Иеще: Now
Гордый Рим трубил победу И еще стихотворение с присутствием Пи, наверняка известное читателям, из Алисы в переводе Б. Заходера: Математик и Козлик Лежит этот стишок на http://www.weekend.ru/print.cfm?publication=4444 , прекрасной странице, посвященной Пи. На ней мы узнаем, например, что на http://www.hut.fi/~mnippula/votepi.html проводилось голосование на тему: чему должно быть равно число Пи в будущем? Большинством голосом решено, что Пи=42. Вот так полагаться на большинство. Удивительная волшебница Ева Андерссон из Калифорнии, девушка с зеленым лицом и рожками-антенами (у многих ли хватит смелости и чувства юмора выложить себя в таком виде, смотрите http://www.ugcs.caltech.edu/~eveander/index.html ) разработала викторину, посвященную числу Пи. Если вы не сможете ответить на 25 тестов, то получите, если знаете английский, познавательные ответы на них. Но, главное, Ева написала поэму, посвященную числам Пи и е, вот ее начало. There once was a number named pi Дословный перевод весьма сомнителен (get high - жаргонное "тащиться", ширяться, балдеть от наркоты, может, поэтому у нее зеленое лицо?) поэтому предлагаю умеренный лимерик: В числовой бесконечной степи Отдохнули? Снова труба зовет в бой. Среди многочисленных задач, связанных с числом пи одна из самых красивых, можно сказать, этюдная, нахождение двух целых чисел, частное от деления которых дает приближенное значение пи. В продолжение известных с глубокой древности пар чисел 22/7 и 355/113. Последнее дает значение, равное 3,14159292035398230088495575221239 на редкость точное, отличается от эталона «аж» с седьмого знака, что превосходит результат многих более крупных пар чисел. Любители фатальных закономерности могут на http://www.ihep.su/~kovalev/lasers.html ознакомиться с невероятной связью числа 113 не только с числом пи, но и с катастрофами и расписаниями электричек. Итак, мы хотим отыскать пару чисел, которые при делении друг на друга дают пи. Открываем два цикла – внешний, от 10 (предположим, это не так важно) до верхнего выбранного предела, например, до 10 000 000 как в приведенном листинге программы. И внутренний цикл, проверка делителей для каждого числа внешнего цикла. И вот тут можно предложить интересный оптимизирующий прием – внутренний цикл проделывать в пределах чисел, не намного отличающихся от деления числа внешнего цикла на приближенное значение пи. Это намного сократит количество проверяемых вариантов, хотя, возможно, не исключен риск «потерять» какое-либо интересное решение. Пределы внешнего цикла, границы внутреннего и точность поиска подбираются при отладке, предлагаем вариант, находящий пары чисел, дающие при делении друг на друга число пи с точностью до 12 знака после десятичной точки. Dim a As Double, b As Double, pi As
Double, pipi As Double 833719
265381 8,71214211883853E-12 Заметив же среди отчетов о точности в правом столбике значения 10-13 и даже 10-14 модифицируем программу, ужесточив условие вывода результата на печать (вернее, в файл) и, соответственно, сузив границы внутреннего цикла: For a = 10 To 10000000 4272943
1360120 4,01012556494607E-13 Мы получили 8 пар чисел в пределах 10 000 000, дающих самые точные значения пи. Вторая пара даже до 14 знака после точки. Причем еще и видно, что шестая пара чисел вдвое больше первой пары, что и объясняет одинаковый результат. Программа работает долго – на PIII-700 с 128Мб ОЗУ в фоновом режиме считает от 10 до 30 минут. Мой сотрудник при решении той же задачи поиска пары чисел, дающих при делении число пи предложил оригинальную идею. А именно – смоделировать процесс деления чисел по аналогии с обычным делением столбиком. Это позволяет рассматривать делимое не целиком, а только небольшую часть его, которую можно объявит как переменную целого типа Integer или long. На подбор пары чисел, дающих пи до семнадцатого знака после точки Celeron 430 (64Мб ОЗУ) затратил около суток, с результатами можно ознакомиться на www.pageofmax.narod.ru/pi.htm . Они сведены в таблицу, в которой видны «нарастающие» результаты работы программы.
Все, больше не будем ничего вычислять. Просто, для особенно любознательных, напомним, что хронология уточнения пи в компьютерную эпоху согласно http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_chronology.html выглядит таким образом: 1949 год- 2037 десятичных знаков
(Джон фон Нейман, ENIAC), В Сети много страниц, посвященных вычислению Пи, отметим лишь, что на http://www.cs.unb.ca/~alopez-o/math-faq/mathtext/node12.html расположена программа, написанная Диком Т. Винтером (Dik T. Winter at CWI) на Си всего 160-ю символами, но вычисляющая 800 знаков Пи! int a=10000,b,c=2800,d,e,f[2801],g;main(){for(;b-c;)f[b++]=a/5; for(;d=0,g=c*2;c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)for(b=c;d+=f[b]*a, f[b]=d%--g,d/=g--,--b;d*=b);} К экзотическим методам вычисления пи вроде использования теории вероятности или простых чисел принадлежит и метод, придуманный Г.А. Гальпериным, и называемый Пи-биллиардом, который основан на оригинальной модели. При столкновении двух шаров, меньший из которых находится между большим и стенкой, и больший движется к стенке, число соударений шаров позволяет вычислить Пи со сколь угодно большой наперед заданной точностью. Надо только запустить процесс (можно и на компьютере) и посчитать число ударов шаров. Программная реализация этой модели пока не известна, может, кто-то из читателей проявит инициативу. Подробное описание метода с обоснованием его смотрите на http://phys.web.ru/db/msg.html?mid=1161679&uri=pi.html Интересные данные о распределении цифр Пи. В первых 200,000,000,000 десятичных
знаках Пи цифры встречались с такой частотой: И еще, как мы уже говорили, в цифрах числа Пи можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр. Например, самые распространенные расстановки встретились в следующих по счету цифрах: 01234567891 : с 26,852,899,245 Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков Пи свой телефон или дату рождения, если не получится, то ищите в 100.000 знаков. В числе 1/Пи начиная с 55,172,085,586 знака идут 3333333333333, не правда ли удивительно? На http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibpi.html лежит статья о связи чисел Фибоначчи с числом Пи. Страница http://www.algonet.se/~eliasb/pi/binpi.html посвящена представлению цифр числа Пи в двоичной форме. Там же можно найти невероятные картины, сформированные этими двоичными числами. Напоследок хотелось бы напомнить, что 14 марта объявлено международным «Днем числа пи», так как в американской записи дата запишется как 3.14. Не забудьте поздравить знакомых, ведь этот праздник самый естественный, общечеловеческий и даже общегалактический, не связанный с религией или местными традициями отдельных стран. Если же вы его пропустили по рассеянности – не огорчайтесь, есть еще «День приближенного пи», естественно 22 июля, не забудьте провозгласить тост за клуб любителей пи |
| Автор | )c( 2000-2019 Kопирайта нет, копируйте на здоровье :) 100112 лет в Интернете |
|